Généralités

Bases

Représentation graphique d’une suite du type un = f(n)

Les absisse correspondent à la velur de n et les ordonnées représente la velur de un  (ex : ici n = 1 ; u1 = 2.75)

sans-titre-5.png

 

 

Représentation graphique d’une suite définie par un+1 = f(un)

sans-titre-6.pngOn construit (Cf) et la droite (D) d’équation y = x.

On place u0 sur l’axe des abscisses.

On trace un trait vertical de ce point à (Cf) c’est-à-dire le segment joignant les points (u0, 0) et (u0, f(u0)) = (u0, u1) et on  peut lire u1 horizontalement sur l’axe des ordonnées 

On ramène u1 sur l’axe (0x) en traçant le trait horizontal joignant le point  (u0, u1) et la droite (D) c’est-à-dire le segment joignant les points (u0, u1) et (u1, u1). On peut maintenant lire u1 sur l’axe (Ox).

On trace un trait vertical du point (u1, u1) à (Cf) et on peut lire u2 horizontalement sur l’axe des ordonnées. . .

 

 

Sens de variation d'une suite

Soit (un)n2N une suite réelle.

La suite (un)n2N est croissante si et seulement si pour tout entier naturel n, un+1 > un.

La suite (un)n2N est décroissante si et seulement si pour tout entier naturel n, un+1 6 un.

La suite (un)n2N est strictement croissante si et seulement si pour tout entier naturel n, un+1 > un.

La suite (un)n2N est strictement décroissante si et seulement si pour tout entier naturel n, un+1 < un. 

La suite (un) est monotone si et seulement si la suite (un)n2N est croissante ou la suite (un)n2N est décroissante.

La suite (un) est strictement monotone si et seulement si (un)n2N est strictement croissante ou strictement décroissante

Technique

Techniques d’étude du sens de variation d’une suite

– On compare directement  un+1 à un pour chaque entier n.

– On étudie le signe de  un+1 un pour chaque entier n.

– Si la suite (un)n2N est strictement positive et définie par des produits (ex : un = 2nn!), on compare u n+1 u n

à 1 pour chaque entier   n.

– Si la suite est du type  un = f(n), on peut étudier les variations de la fonction f puis utiliser le théorème :

si f est une fonction définie sur [0,+1[ et si pour tout entier naturel n un = f(n), alors

si f est croissante sur [0,+1[, la suite (un)n2N est croissante,

si f est strictement croissante sur [0,+1[, la suite (un)n2N est strictement croissante,

si f est décroissante sur [0,+1[, la suite (un)n2N est décroissante,

si f est strictement décroissante sur [0,+1[, la suite (un)n2N est strictement décroissante.

Suites réelles majorées, minorées, bornées

Soit (un)n2N une suite réelle. (un)n2N est majorée si et seulement si il existe un réel M tel que pour tout entier naturel n, un 6 M.

(un)n2N est minorée si et seulement si il existe un réel m tel que pour tout entier naturel n, un > m.

(un)n2N est bornée si et seulement si (un)n2N est minorée et majorée.

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