Cours n°1

Définition et Propriété

L'ensemble des nombres complexes est noté C :

  • Il existe dans C un élément noté i tel que i2 = -1.
  • Tout élément de C s'écrit sous la forme a + bi , où a et b sont des réels.
  • C est muni d'une addition et d'une multiplication qui prolongent l'addition et la multiplication de IR, et qui suivent les mêmes règles de calcul.
  • Un nombre complexe sera souvent représenté par la lettre z, sa forme algébrique z = a + bi :
    • z = a + bi       si a et b sont des réels
    • z = a             si b = 0             on dit que z est un réel pur car a est la partie Réelle de z : a = Re(z)
    • z = bi            si a = 0             on dit que z est un imaginaire pur car b est la partie Imaginaire de z : b = Im(z)

Exemple :

z = 3 - 2i                        Re(z) = 3      et       Im(z) = -2

Dans le plan

Dans le plan rapporté à un repère orthonormal direct plan-complexe.png
Au point M de coordonnées (a ; b) , on peut associer le nombre complexe z = a + bi.
On dit que z = a + bi est l'affixe de M ou que M(a ; b) est l'image de z = a + bi.

Au vecteur de coordonnées (a ; b), on peut associer le nombre complexe z = a + bi.
On dit que z = a + bi est l'affixe de  ou que (a ; b) est l'image vectorielle de z = a + bi.


Lorsqu'on repère un point ou un vecteur par son affixe dans un repère orthonormal direct, on dit qu'on se place dans le plan complexe.

Exemple : z = 4 + 3i  graph-comp-1.png

Propriétés

Si M a pour affixe z = a + bi et si M' a pour affixe z' = a' + b'i , avec a, b, a', b' réels, alors :

  • le vecteura pour affixe z' - z = (a' - a) + (b' - b)i
  •                                rappel : ||MM'|| représente la norme de MM soit sa longueur
  • le milieu I de [MM'] a pour affixe
  • le barycentre G de (M ; a) et (M' ; b) a pour affixe

 

Si a pour affixe z et pour affixe z', alors + a pour affixe z + z'

Si k (réel), alors k à pour affixe kz

 

Exemple :

O (0,0), A (3;4), B (-1;2) soit zA = 3 + 4i et zB = -1 + 2i

  • = (-1 - 3) + (2 - 4)i = -4 - 2i
  •   soit I (1:3)

Conjugué

Définition :

Soit z un nombre complexe de forme algébrique a + bi .
On appelle conjugué de z le nombre complexe noté tel que = a -bi

(on voit que le nombre z et son conjugués sont symétrique par rapport à l'axe des absisses)

Propriétés :

  • est un réel positif
  • z est réel alors
  • z est imaginaire pur alors

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