Courn n°2

Forme trigonométrique

Définition :

Tout nombre complexe possède une forme trigonométrique non nul z écrit sous la forme :  z = r(cos θ + i sin θ),avec θ  IR et r  IR+*

Propriété :

Si deux nombres complexes z et z' sont écrits sous forme trigonométrique :
z = r(cos θ + i sin θ)              et              z' = r' (cos θ' + i sin θ'), on a :
z = z' <=> r(cos θ + i sin θ) = r' (cos θ' + i sin θ') <=>   [2π]

 

Module


Définition:

Soit le nombre complexe z de forme algébrique a + bi et soit M le point d'affixe z.
On appelle module de z le nombre réel positif
On note r = | z |

Propriété :

Soit un vecteur d'affixe z , on a
Soient A et B deux points d'affixes respectives zA et zB, on a AB = | zB - zA |.

  • Remarque : le module permet d'obtenir des longueurs géométriques

Propriétés :

                                               

Argument

Définition :

Soit le nombre complexe non nul z de forme algébrique a + bi et soit M le point d'affixe z.
On appelle argument de z tout nombre réel θ tel que [2π]

On note θ = arg(z)

  • Remarque : θ n'est pas unique, il est défini à 2kπ près, c'est-à-dire modulo 2π.

Propriétés :

Soient θ et θ' deux réels et soient z et z' deux nombres complexes non nuls d'arguments respectifs θ et θ' on a :

(cos θ + i sin θ)(cos θ' + i sin θ') = cos(θ + θ') + i sin(θ + θ')                            arg(zz') = arg z + arg z'   [2π]

= cos(- θ) + i sin(- θ)                                                             = - arg z            [2π]

= cos (θ - θ') + i sin (θ - θ')                                                 = arg z - arg z'   [2π]

(cos θ + i sin θ)n = cos(nθ) + i sin(nθ)                                                          arg (zn) = n arg z             [2π]

cos θ - i sin θ = cos(- θ) + i sin(- θ)                                                             = - arg z              [2π]

- (cos θ + i sin θ) = cos(θ + π) + i sin(θ + π)                                                 arg (- z) = arg z + π          [2π]

 

Remarque :

Soit z = r(cos θ + i sin θ) un nombre complexe écrit sous forme trigonométrique.

 et - z ont pour formes trigonométriques :

= r(cos(-θ) + i sin(-θ))          et           - z = r(cos(θ + π) + i sin(θ + π))

A savoir

Relation à connaitre :

cos(θ) + i sin(θ) = e

d'où      r(cos(θ) + i sin(θ)) = r e

 

Rappels et Formules avec exponentielle :

e i θ x e i θ' = e i (θ + θ')

 = e i (-θ) = e -i θ

= e i (θ - θ')

(e i θ)n = e i n θ = e n i θ

 = e -i θ

- e = e i (θ + π)

 

Remarque (important pour Bac S) : très souvent utilisé pour se dégager de situation compliqué à première vue

La propriété e i θ x e i θ' = e i (θ + θ') , facile à retenir, permet de retrouver les formules d'addition :

  • cos(θ + θ') = cos θ cos θ' - sin θ sin θ'
  • sin(θ + θ') = sin θ cos θ' + cos θ sin θ'

La propriété (e i θ)2 = e 2i θ permet de retrouver les formules de duplication :

 

  • cos 2θ = cos2 θ - sin2 θ
  • sin 2θ = 2 sin θ cos θ

Formules d'Euler :

Formule de Moivre :

(e i θ)n = e i n θ 

 

 

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