Généralités

Parité

Définition

On se place dans un plan P rapporté à un repère (O;I;J). La courbe représentative de la fonction f est l'ensemble des points du plan P dont les coordonnées (x;y) vérifient l'égalité y=f(x).

Une fonction f définie sur Df est paire si et seulement si pour tout réel x de Df, f(-x) existe et : f(-x) = f(x).

Remarque

Dire que f(-x) existe pour tout x  appartient a Df revient à dire que l'ensemble de définition Df est symétrique par rapport à 0. C'est le cas, en particulier, pour les ensembles R, R* et les intervalles du type [-a;a]  et ]-a;a[. Si l'ensemble de définition n'est pas symétrique par rapport à 0, la fonction ne peut pas être paire.

Théorème

La courbe représentative d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

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Fonction paire

Définition

Une fonction f définie sur Df est impaire si et seulement si pour tout réel x de Df, f(-x) existe et : f(-x) =  -f(x).

Remarque

Comme pour les fonctions paires, une fonction ne peut être impaire que si son ensemble de définition est symétrique par rapport à 0.

Théorème

La courbe représentative d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine O.

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Fonction impaire

Variation

Définition

La fonction f est croissante sur l'intervalle I si pour tous réels x1 et x2  appartenant à I tels que x1 ≤ x2 on a f(x1) ≤ f(x2)

Remarque

Intuitivement, cela se traduit par le fait que la courbe représentative de la fonction f "monte" lorsqu'on la parcourt dans le sens de l'axe des abscisses (e.g. de gauche à droite)

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Définition
 
La fonction f est décroissante sur l'intervalle I si pour tous réels tous réels x1 et x2  appartenant à I tels que x1 ≤ x2 on a f(x1) ≥ f(x2)
 
Remarque
Intuitivement, cela se traduit par le fait que la courbe représentative de la fonction f "descend" lorsqu'on la parcourt dans le sens de l'axe des abscisses (e.g. de gauche à droite)
 
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Définition
Soit I un intervalle et  x0 appartien à I. La fonction f admet un maximum en x0 sur l'intervalle I si pour tout réel x de I, f(x) ≤ f(x0). . Le maximum de la fonction f sur I est alors M=f(x0)
 
Définition
Soit I un intervalle et x0 appartien à I. La fonction f admet un minimum en x0 sur l'intervalle I si pour tout réel x de I, f(x) ≥ f(x0). Le minimum de la fonction f sur I est alors m=f(x0)
 
Remarque
 
Les variations d'une fonction peuvent être représentées par un tableau de variations
 
Exemple
Soit f une fonction définie sur [-2;5], croissante sur [-2;0] et sur [3;5] et décroissante sur [0;3] et f(-2)=-3, f(0)=6 et f(5)=1 Le tableau de variations de la fonction f est :
 
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