Les nombres entiers et décimaux

Rappel

Les chiffres :

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 et 10 sont les 10 chiffres qui permmettent d'écrire tous les nombres !

 

Les entiers :

Propriété :

Un nombre entier s'écrit sans virgule

exemple : 4 205 est un nombre entier composé de 4 chiffres

pour faciliter la lecture j'ai place un espace tout les 3 chiffres : 4 021 241 (qui se lit 4 million 21 mille deux cent quarante et un)

Les nombres décimaux

Le nombre décimale :

le nombre décimale s'écrit avec une virgule (ex : 671,52).

Il dispose d'une partie entière (ex : 671) et d'une partie décimale (ex : 52)

Exemples :

 

Propriété :

Tout nombre décimal peut être écrit sous forme de fraction

Si la partie décimale est constituée d'un chiffre alors l'écriture fractionnaire est obtenue en plaçant le nombre décimal privé de sa virgule au numérateur et le nombre 10 au dénominateur.
Si la partie décimale est constituée de deux chiffres la méthode est la même mais le nombre du dénominateur est 100.
Si la partie décimale est constituée de trois chiffres alors le numérateur est 1000
Etc ....

Exemples:

11,2 =  112 
            10
0,253 =   253 
             1000


Cette écriture fractionnaire peut également être retrouvée dans les cas simples en utilisant un axe gradué
Par exemple le nombre décimal 0,4 corresond à la quatrième graduation d'un axe portant des graduations toute les 0,1 unités.

Cette écriture fractionnaire permet également de le décomposer en une somme de fractions: Le premier terme de la somme correspond à la partie entière, le deuxième au chiffre des dixièmes placé au numérateur d'une fraction dont le numérateur est dix, le troisième au chiffre des centièmes placé au numérateur d'une fraction dont le numérateur est cent etc ....

Exemple: 26,398 = 26   +    3   +    9    +     8     
                                        10      100       1000

 

Les zéros utiles et inutiles

Définition :

On peut écrire ou supprimer des zéros à gauche de la partie entière ou à droite de la partie décimale.
Cela ne change pas sa valeur.

  • Exemple :  18,3 = 018,3 = 18,30 = 018,30

Un nombre entier est aussi un nombre décimal car 37 = 37,0

La droite graduée

Définition :

separation

Pour graduer une droite, on choisit : un sens , une origine O et une unité de longueur.

On repère chaque point d’une droite graduée par un nombre appelé l’abscisse.

 

Exemple ci-contre :

  • On dit que 2 est l’abscisse du point A ou que le point A a pour abscisse 2. On note A( 2 )
  • L’abscisse de B est 1
  • L’abscisse de C est 2,2
  • L’abscisse de D est 0,4

Comparaison et Rangement des nombres

Définition :

Comparer deux nombres, c'est dire lequel est le plus grand, le plus petit ou s'ils sont égaux :

  • « > » signifie « est supérieur à » ( est plus grand que )
    • exemple : 47,3 > 41
  • « < » signifie « est inférieur à » ( est plus petit que )
    • exemple : 12 < 12,2

Ces signes sont appelés des signes de comparaison.

 

Comment comparer des nombres :

  • Comparer leur partie entière. Celui qui possède la plus grande est le nombre le plus grand.
    • Si les deux parties entières sont égales :
      • Comparer les chiffres des dixièmes. Celui qui possède le plus grand est le nombre plus grand.
        • Si la partie entière et le chiffre des dixièmes sont les mêmes alors il faut comparer les chiffres des centaines. Celui qui possède le plus grand est le nombre le plus grand. etc .....

Exemple:

Le nombre 56,781 est plus grand que le nombre 56,759 car les parties entières et les chiffres des dixièmes sont les mêmes mais le chiffre des centième (8) de 56,781 est plus grande que le chiffre des centièmes (5) de 56,759

Donc 56,781 > 56,759


Rangement :

Il est également possible de comparer plusieurs nombres différents en les classant :

  • Si des nombres sont rangés du plus petit au plus grand on dit qu'ils sont dans l'ordre croissant
  • Si des nombres sont rangés du plus grand au plus petit on dit qu'ils sont dans l'ordre décroissant.

Exemple de nombres rangés dans l'ordre croissant: 1 < 2 < 2,6 < 4,52 < 4,59 < 6,1
Exemple de nombre rangés dans l'ordre décroissant: 9 > 6 > 5,3 > 5,2 > 3,94 > 3,91 > 2

Encadrer et Intercaler

Entre deux nombres décimaux, on peut toujours intercaler un nombre décimal.

Exemple : 

3 < …… < 4

3,4 < …… < 3,5

3,43 < …… < 3,44

3,421 < …… <3,422
 

Définition :

Encadrer un nombre, c’est donner à ce nombre une valeur inférieure et un valeur supérieure

Voici des encadrements possible (car il en existe une infinité) de 13,71 :
10 < 13,71 < 20

10 < 13,71 < 15

13 < 13,71 < 14
(ici, 13,71 est encadré par 2 entiers consécutifs)

Tronquer et Arrondir

Tronquer :

On peut tronquer à plusieurs endroit un nombre :

  • tronquer à l'unité
    • ex : la troncature de 72,583 à l’unité est 72.
  • tronquer au dixième
    • ex : la troncature de 45,4756 au dixième est 45,4
  • etc ....

il s'agit de couper le nombre tel qu'il est à l'endroit demandé

 

Arrondir :

On peut arrondir à plusieurs endroit un nombre :

  • arrondir à l'unité
    • ex : l'arrondi de 72,583 à l’unité est 73.
  • arrondit au dixième
    • ex : l'arrondi de 45,4756 au dixième est 45,5
  • etc ....

L'arrondi à l'unité d'un nombre décimal est le nombre entier le plus proche :
C'est le chiffre suivant l'endroit de l'arrondi  est 0 , 1 , 2 , 3 ou 4
C'est le nombre entier suivant si le chiffre des dixièmes est 5 , 6 , 7 , 8 ou 9

Exemple :
L'arrondi à l’unité de 27,32 est 27 ;
L'arrondi à l’unité de 37,8 est 38.
L'arrondi à l’unité de 72,583 est 73.

 

  36,89 504,36 29,654 324,507
Troncature au
dixième
36,8 504,3 29,6 324,5
Arrondi au
dixième
36,9 504,4 29,7 324,5

 

 

Multiplier ou Diviser par 10, 100 ou 1000

Règles de calcul :

Multiplier par 10, 100 ou 1000 revient à déplacer la virgule vers la droite, d’autant de rang qu’il y a de zéro(s), en plaçant un ou des zéros si c’est nécessaire.

Exemples :
18,53 x 10 = 185,3
18,53 x 100 = 1 853
18,53 x 1000 =18 530.

 

Diviser par 10, 100 ou 1000 revient à déplacer la virgule d’un, deux ou trois rangs vers la gauche en plaçant un ou des zéros si c’est nécessaire.

Exemples :

27,49 : 10 = 2,749
27,49 : 100 = 0,274 9
27,49 : 1000 =0,027 49

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