Opérations binaires et logique booléenne

Introduction

Aujourd'hui tous nos appareils électroniques communique et fonctionne grâce des données composés de 0 et de 1.

  • Quantité élémentaire d’information : le bit (BInary digiT).
    • Il peut prendre deux valeurs : 0 ou 1
    • Selon le contexte, ils peuvent correspondre à :
      • nombres 0 ou 1(numérique)
      • faux ou vrai (logique)
      • ouvert ou fermé (interrupteur)
      • nord ou sud (magnétique)
      • noir ou blanc (optique)
      • absence ou présence de trou (carte perforée), etc.
  • Algèbre de Boole (George Boole) :
    • partie des maths qui s’intéresse aux opérations et aux fonctions sur les variables logiques
    • en logique, domaine définissant les lois formelles du raisonnement
    • utilisée dans la conception des circuits électroniques.

Opérateurs booléens

En mathématique il existe des opérateurs : +, -, x, ÷ etc .... Cela existe aussi pour le binaire !

  • Opérateur booléens simples :
    • NON (négation) dit NOT en anglais  (la porte logique NON est plus souvent appelé INVERSEUR)
    • ET dit AND
    • OU dit OR
    • OU EXCLUSIF dit XOR

Pour comprendre comment fonctionne ces opérateurs on répertorie les entrées et vérifie les sorties.

Assimilé à un circuit électrique les entrées sont les interrupteurs et la sortie la lampe :

  • si la lampe est éclaire alors SORTIE = 1, c'est que le courant passe dans le circuit
  • et inversement SORTIE = 0, lampe éteinte

isn-opearetueur-logique-3.jpg

Remarque : il faut savoir qu'en électronique le langage international est basé sur les symboles américains

 

On peut également assimilé le fonctionnement de ces portes logiques à l'aide de chronogramme :

isn-opearetueur-logique-2.jpg

Propriétés de Calculs

IMPORTANT :

ne pas confondre le "+" et le "." logique avec le "+" mathématiques (somme) et le "." (multiplie)

pour vous aidez replacer ces formules dans un shéma électrique, tout devient plus logique !

 logique1.jpg

Idempotence : (un nom bien compliqué pour pas dire grand chose) 

  • a+a+a+a+ [.....] +a = a   (ce qui veu dire "a ou a ou a ou a  = a")
  • a.a.a.a.a.[.....] .a = a   (ce qui veu dire "a et a et a et a  = a")

 

Eléments neutres :logique2.jpg

  • a + 0 = a
  • a.1 = a

 

Complémentarité :

(se dit A barre ou A complémenté), c'est le contraire (l'inverse) de A.logique3-1.jpg

  • Si la variable est complémentée 2 fois :   alors on a = A
  • a + = 1 
  • a. = 0

Associativité :

Comme dans certaines opérations mathématiques, les parenthèses sont parfois inutiles (Attention : uniquement avec la même opération)

  • (a+b) + c = a + (b+c) = a + b + c
  • (a.b) . c = a . (b.c) = a.b.c

Commutativité :

L'ordre n'a pas d'importance

  • a + b = b + a
  • a.b = b.a

Distributivité :

Comme en maths, on peut distribuer dans les parenthèses

  • a . (b+c) = a.b + a.c
  • a + (b.c) = (a+b) . (a+c)

Absorption :

  • a.0 = 0
  • a + 1 = 1

Exemple : b + b.a = b

Simplification :

  • a + .b = a + b
  • a.( + b) = a . b

Redondance :

  • a.b + b.c +.c = a.b + .c   (b.c est inutile car b et c sont présents dans les deux autres éléments de l'équation)

Priorité dans les Calculs

La fonction ET (AND) est prioritaire sur la fonction OU (OR) !!

Exemple :

a = 0 ; b = 1 ; c = 1

on cherche a.b + c = ?

  • on calcul d'abord a.b :
    • a.b = 0.1 = 0
  • on calcul a.b + c :
    • a.b + c = 0 + c = c = 1
  • donc a.b+c = (a.b) + c = 1

 

Théorème de De Morgan :

IMPORTANT : ce théorème est très utile pour simplifier les équations, je recommande de le connaitre !

 

Commentaires (2)

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